Die Lage vor Viktor Hess

3.3   Messmethoden der Luftelektrizität

3.3.1   Maßeinheiten

Maßeinheiten dienen dazu, Messgrößen wie Distanzen oder Zeiträume quantitativ erfassen und darstellen zu können, also letztendlich um Messungen durchführen zu können. Betrachten wir den Fall, wo ein Mann einem weitläufigen Bekannten, der etwas abseits lebt, die Länge eines bestimmten Weges schriftlich mitteilen will. Um seinen Freund die tatsächliche Weglänge deutlich zu machen, müssen die beiden über eine gemeinsame Grundlage verfügen: eine Maßeinheit. Dabei handelt es sich um eine Vergleichsgröße, die man verwendet, um der tatsächlichen Messgröße eine Maßzahl zu zuordnen. Die Maßzahl sagt dann über die Messgröße aus, welches Verhältnis sie zur Maßeinheit einnimmt.

Wenn der Mann aus dem Beispiel aus Europa stammt, so mag es für ihn naheliegend erscheinen, dass er sich für den Meter (m) als Maßeinheit entscheidet. Also misst er aus, wie oft er den Metermaßstab entlang des zu bestimmenden Weges hintereinander legen muss. Er mag zu dem Ergebnis kommen, dass der Weg in diesem Falle 400 Meter lang ist. Wenn der Mann aber aus Amerika stammt, so hätte er genauso gut als Maßeinheit yards wählen können. Ein yard entspricht 3 feet oder 0.9144 Meter, also hätte man die Weglänge ebenso richtig auf 437.44 yards bestimmen können. Der Empfänger der Postkarte wird aus beiden Angaben den gleichen Schluss ziehen können, wenn er mit der jeweiligen Maßeinheit vertraut ist.

Was beide Beispiele gemein haben, ist, dass sich der Informant für eine beliebige Maßeinheit mit der Dimension einer Länge entscheiden konnte, um eine Entfernung anzugeben, was auf den ersten Blick wohl auch sehr vernünftig erscheint, aber nicht die einzig mögliche Lösung für das Problem darstellt. So könnte der Mann aus der Geschichte etwa versuchen, seinem Freund einen lebendigeren Eindruck der Weglänge zu vermitteln, indem er schreibt, dass er gerade fünf Minuten von z.B. der Universität entfernt wohnt. Man beachte, dass in diesem dritten Beispiel eine Maßeinheit mit der Dimension einer Zeit verwendet wurde, um die Länge eines Weges anzugeben, was im Prinzip einen Widerspruch darstellen müsste! Rein gefühlsmäßig aber kann jeder etwas mit dieser eher kryptischen Entfernungsangabe anfangen. Der Schreiber muss dabei von der Annahme ausgehen, dass alle Menschen mit annähernd der gleichen Geschwindigkeit unterwegs sind, wenn sie durch die Stadt spazieren, wodurch eine eindeutige Zuordnung zwischen Entfernungen und den Zeiten ihrer Bewältigung ermöglicht wird.

Wie wahrscheinlich jeder aus eigener Erfahrung auf diversen Wanderwegen, wo die Entfernung zur Blockhütte, die erst gegen Abend am Horizont auftauchte, mit fünfzehn Minuten angegeben war, weiß, ist die menschliche Fortbewegungsgeschwindigkeit keine anthropologische Konstante, sondern individuell und stark von der Situation abhängig, und damit nur sehr bedingt geeignet, Entfernungen zuverlässig anzugeben.

Allerdings gibt es eine tatsächlich konstante Geschwindigkeit, die dann auch gerne dazu verwendet wird, Entfernungen durch eine Zeit anzugeben, wo typischere Einheiten wie Meter, Kilometer und dergleichen nicht mehr mithalten können: und das ist die Lichtgeschwindigkeit. Seit Albert Einstein, Michelson und Morley ist es allgemein bekannt, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit mit

konstant ist. Der Weg, den ein Lichtquant pro Sekunde zurücklegt, ist also für jede Sekunde gleich. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit enorm hoch, und so eignen sich die Strecken, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, um die Beschreibung besonders großer Entfernungen zu bewältigen. Ein Lichtjahr ist also die Strecke, wo ein Lichtquant zu einem anderen sagen würde: “Ja, da gehst Du schon mal ein Jahr.” Was etwa 9½ Billionen (10¹²) Kilometern entspricht. Was ist das wichtige an den obigen Beispielen?

1. Wir haben gesehen, dass man einer Messgröße verschiedene Maßeinheiten zuordnen kann. So kann man eine Länge in Meter, yards und vielen anderen Maßeinheiten angeben, was dann immer zu einer anderen Maßzahl führt. So hieße eine Entfernung d zum Beispiel in Metern d = 5 Meter, oder in yards d = 5.47 yards. Was beide Angaben gemein haben ist, dass beide Maßeinheiten die Dimension einer Länge haben.
2. Ebenso kann man einer Messgröße eine neue Dimension zuordnen. Im obigen Fall war es die Dimension der Zeit (die benötigt wird, um den Weg zu bewältigen), die wir verwendeten, um eine Messgröße mit der Dimension einer Länge zu beschreiben. Das ging deswegen, da wir mit Hilfe der konstanten Lichtgeschwindigkeit die Möglichkeit einer eindeutigen Zuordnung der Messgrößen hatten.

Ähnliche Umrechnungen wie die oben angeführte werden notwendig, wenn man die Messberichte aus den Zeiten von Viktor Hess und seinen Zeitgenossen quantitativ verstehen will. In der Gegenwart erfreut sich das SI-System einer zunehmenden Beliebtheit. Das Systéme International ist ein Einheitensystem mit den Basiseinheiten Meter (Länge), Sekunde (Zeit) und Kilogramm (Masse). Alle weiteren Größen sind von diesen abgeleitet. Die Einheit der Kraft F (nach dem englischen force) ist z.B. das Newton (kurz N). Da das Newton keine Basisgröße im SI-System ist, muss es folglich aus den Basisgrößen abgeleitet werden. Für das Newton erhält man:

bei genauerem Hinsehen erkennt man das erste Newton’sche Axiom

Die Beschleunigung wird nach dem englischen Ausdruck acceleration mit a bezeichnet.

Vor allem in der Anfangszeit der Erforschung der Kosmischen Strahlung experimentierte der physikalische Forscher recht viel mit relativ hohen Spannungen und eher geringen Ladungen, mit denen die Ionisationskammern betrieben wurden, die damals das Kernstück jedes Strahlenapparates bildeten. Besonders interessierten sich die Physiker für die Ladungen, dabei vor allem für die Elementarladung und ihre ganzzahligen Vielfachen. Im SI-System ist allerdings die Definition der Ladung keineswegs einfach, sondern erfolgt über den Strom. Daher ist es zweckmäßig, zunächst die Definition der Stromstärke zu betrachten:

Man denke sich zwei unendlich lange Leiter, die einen Abstand zueinander von exakt einem Meter einhalten. Die beiden Leiter werden genau dann von einem Strom I von der Stärke von je einem Ampere (A) durchflossen, wenn die Kraft je Einheitslänge zwischen den beiden Leitern 2·10 ^-7 N/m beträgt. Das Ampere ist die Maßeinheit des elektrischen Stromes. [I] = A.

Es mag auffallen, dass den Basisgrößen kg, m, s im SI-System Kleinbuchstaben, den abgeleiteten Größen wie A und N Großbuchstaben zugeordnet werden. Die SI-Einheit für die Ladung Q mit der Einheit Coulomb (Cb) ergibt sich dann aus der Beziehung

Zu Hess’ Zeiten hingegen verwendete man noch sehr gerne das cgs-System. Die Basiseinheiten hier sind der Zentimeter, das Gramm und die Sekunde - cm, g, sec. Aus den Anfangsbuchstaben ergibt sich die Abkürzung cgs. Allerdings waren nicht nur die Basisgrößen verschieden, sonst wäre der Unterschied kaum erwähnenswert gewesen. Die beiden Einheitensysteme verwendeten auch recht verschiedene Strategien in der Definition ihrer Messgrößen.

Verfolgen wir zunächst einmal den Weg der Definitionen der abgeleiteten Größen, bis wir wiederum bei der Ladung angelangt sind. Im SI-System wählte man vor einiger Zeit den Weg über das Ampere, also über die Kräfte zwischen zwei Strömen, die dann das Ampere, die Stromstärke definierten. Zur Zeit von Viktor Hess aber interessierte man sich weniger für die Kräfte zwischen den Magnetfeldern zweier Ströme; was vor allem die Aufmerksamkeit der Forscher fesselte, waren die Wechselwirkungen und die Kräfte zwischen “ruhenden” elektrischen Ladungen.

Die Kraft F wird auch im cgs-System über den Zusammenhang F = m·a definiert. Da hier überhaupt kein Unterschied in der Philosophie sondern nur in den Maßeinheiten besteht, unterscheiden sich die Einheiten N (SI-System) und dyn (cgs-System) nur um einen konstanten Faktor

Betrachten wir die Gleichung für die Coulombkraft

Hier steht ∈ für die elektrische Feldstärke (V·m^-1 in SI-Einheiten), die von der Ladung Q erzeugt wird, und Q’ steht für eine elektrische Probeladung, die diese Feldstärke spürt. Wenn F und Q bereits gegeben sind, kann man aus diesem Zusammenhang die elektrische Feldstärke herleiten.

Der elektrische Fluss Φ durch die Begrenzungsfläche eines geschlossenen Volumens (z.B. die Oberfläche einer Kugel) ist proportional zu der eingeschlossenen Ladung, bzw. zu dem Oberflächenintegral der Feldstärke über eine geschlossene Sphäre rund um eine Ladung (diesen Zusammenhang gibt das Gauss’sche Gesetz wieder):

wobei Φ den elektrischen Fluss bezeichnet, ∈ die elektrische Feldstärke, die durch die Ladung Q erzeugt wird. 4r²π erhält man durch das Oberflächenintegral über die Kugel (4r²π ist tatsächlich die Kugeloberfläche), die die Ladung Q enthält. Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich aus dem Gauss’schen Gesetz.

Wenn man nur den rechten Teil der Gleichung betrachtet, dann kann man ∈ wie folgt ausdrücken:

Besonderes Interesse wird jetzt noch der Proportionalitätskonstante η zuteil. Im SI-System sind uns hier die Hände gebunden. Wir haben bereits den Strom, die Ladung und die Kraft definiert, es gibt kein zurück und kein Ausweichen. Wir müssen α berechnen und heraus kommt ein Wert, der dem Formelzeichen ε₀ zugeordnet wird:

Das bedeutet für die elektrische Feldstärke ∈ im Systéme International:

wo Q die elektrische Ladung darstellt, die das Coulombfeld erzeugt, ε₀ ist die dielektrische Feldkonstante, deren Wert sich aus der Definitionen der Einheiten ergibt, und r ist der Abstand von der elektrischen Ladung Q. Beim cgs-System sind allerdings noch alle Wege offen, und das macht man sich auch trefflich zu Nutze. Man greift die Gelegenheit beim Schopf und definiert jetzt erst die Einheit der Ladung, wo die Notwendigkeit dafür erkannt wird. Im Prinzip macht man das so, dass man die Konstante η = 4π setzt. Damit ist die Feldstärke ∈ ganz einfach zu berechnen:

und die Kraft F = ∈·Q, die die elektrische Ladung Q auf eine Probeladung Q’ ausübt, wird einfach zu

verglichen mit der Coulombkraft aus dem SI-System:

Man erkennt eine einfachere Darstellung in der Formel mit einer Betonung des Wesentlichen. Außerdem erspart man sich die halbe Schreibarbeit, was vor allem in einer Zeit, als Papier und Tinte knapp waren, ein maßgeblicher Vorteil gewesen sein könnte. Dafür muss man sich jetzt im cgs-System daran machen, herauszufinden, was man damit bewirkt hat, dass man obige Konstante η einfach gleich 4π gesetzt hat. Nachdem wir wieder auf das Coulombgesetz kommen wollen, müssen wir die Dimension der Ladung so wählen, dass diese Formel konsistent bleibt:

Das bedeutet in den Dimension der einzelnen Messgrößen:

wobei das esu die Einheit der Ladung im cgs-System darstellt (engl. electrostatic unit). Als nächstes wird die Einheit der Kraft dyn auf die Basisgrößen im cgs-System zurückgeführt:

Daraus kann man dann recht einfach die Dimension der Ladung berechnen, die man sich weiter oben durch die Vereinfachung eingehandelt hat. Es folgt:

Im SI-System erhielt die Ampere-Sekunde den Namen Coulomb (Cb). Im cgs-System erhält obige Mischung aus Gramm, Zentimetern und Sekunden den Namen esu, eine Abkürzung für elektrostatische Einheit (electrostatic unit). Früher war noch der Name Franklin für die Ladung geläufig, der aber heute kaum noch Erwähnung findet. Zu beachten ist auf jeden Fall, dass die elektrostatische Einheit noch nichts mit der Elementarladung zu tun hat!

Zunächst müssen wir noch einige wichtige Größen der Elektrostatik im cgs-System definieren, um in der Lage zu sein, alle Messergebnisse, die Hess und seine Kollegen erzielt haben, so recht begreifen zu können. Die elektrische Feldstärke ∈ wurde oben schon erwähnt. Sie ermöglicht es dem Interessierten, die Kraft zu bestimmen, die auf eine Probeladung Q’ in der Nähe einer anderen Ladung Q ausgeübt wird:

wobei ∈ das elektrische Feld ist, das von der Ladung Q erzeugt wird:

Die Dimension von ∈ ist nach obiger Gleichung F = ∈·q leicht abzuschätzen. Die Dimension von F ist bereits wohlbekannt, und ebenso die von q. Damit ergibt sich für ∈:

In unserem Fall ist dieser Zusammenhang vor allem als Zwischenziel auf unserem Weg zur elektrischen Spannung interessant. Hier geht man von dem Zusammenhang aus, dass

und damit erhält man:

U ist die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten mit dem Abstand d. Das sind nun alles recht eigentümliche und ungewohnte Maßeinheiten, verglichen mit den bequemen SI-Einheiten Volt (V) für die Spannung und Volt pro Meter (V/m) für die elektrische Feldstärke. Allerdings sehen auch die SI-Einheiten nicht mehr viel sympathischer aus, wenn man sie auf die Basisgrößen zurückführt. Für die Spannung erhielte man einen Ausdruck wie [V] = [m²·kg·s^-3·A^-1], wobei da das Ampere noch gar nicht auf die Basisgröße zurückgeführt ist.

Nach den bisherigen Überlegungen mit dem cgs-System kommt jetzt der entscheidende Schritt, warum wir die ganze Mühen der Herumrechnens auf uns genommen haben: Alle Messgeräte, die zur Entdeckung der Kosmischen Strahlung am Anfang des 20. Jahrhunderts ihr Scherflein beigetragen haben, waren in gewisser Weise einem Kondensator ähnlich. Eine Ladung wurde auf irgend eine Art von Ladungsspeicher aufgebracht, und die durch diese Ladung verursachte Spannung wurde dann abgelesen und beobachtet. Zwischen der Ladung eines Kondensators und der an ihm liegenden Spannung besteht ein wichtiger Zusammenhang:

wo Q die elektrische Ladung, U die Spannung und C eine Proportionalitätskonstante sind. Man sieht also, dass Ladung und Spannung einander proportional sind. C ist eine Konstante, die von den Eigenschaften des Kondensators, vor allem von seiner Geometrie (also seiner Form) abhängt. Daher nennt man C auch die Kapazität (das Fassungsvermögen, engl: capacity) des Kondensators.

Die Dimension dieser Konstanten ergibt sich aus ähnlichen Überlegungen wie oben. Während im Systéme International die Kapazität den Namen Farad (die Einheit Farad wird mit F abgekürzt, genauso wie die Kraft F. Also nicht verwechseln!) erhält, bekommt sie im cgs-System eine verblüffende Größe:

Die Dimension der Kapazität eines Kondensators ist also der wohlvertraute Zentimeter, was für Benutzer des SI-Systemes anfangs zu gröberen Vorstellungsschwierigkeiten führen mag. Für Viktor Hess und seine physikalischen Mitstreiter war es jedenfalls so selbstverständlich, die Kapazität in Zentimetern anzugeben, wie es für viele von uns klar wäre, dafür Farad zu benutzen. Da man aber, wenn man sich mit den Messergebnissen von Viktor Hess quantitativ auseinander setzt, mit Einheiten seiner Wahl konfrontiert wird, so wollen wir an dieser Stelle die ungewohnten Einheiten mit Sinn erfüllen, indem wir sie mit Größen vergleichen, die wir aus dem Alltag kennen. Da bietet sich als erstes die elektrische Elementarladung an:

Bildet man weiters den Quotienten aus den obigen Werten für die Elementarladung in den beiden Einheitensystemen, so erhält man den folgenden Zusammenhang:

Bis zum Umrechnungsfaktor zwischen Farad und Zentimeter, wobei Zentimeter in diesem Zusammenhang die Kapazität des Kondensators beschreiben soll, ist der Weg zwar noch etwas länger, aber zum Glück nicht sehr beschwerlich. Seinen Ausgangspunkt soll er bei einem Zusammenhang nehmen, der eine der wichtigsten Größen der Physik definiert:

wo E die Energie ist, F eine Kraft und d der Weg, dem entlang die Kraft F wirkt. Die Definition der Energie ist vom Einheitensystem unabhängig, und man gelangt zu folgendem Zusammenhang:

Die Einheit der Energie im SI-System ist das Joule (J), benannt nach dem Physiker James Prescott Joule (1818 - 1889), der seinerzeits einige wesentliche Gedanken zum Thema Wärme und Energie angestellt hat. Im cgs-System heißt die Einheit der Energie erg (erg leitet sich vom griechischen Wort ergon für Energie ab). Aus den obigen Umformungen ist ersichtlich, wie man vom SI - Joule zum cgs - erg kommt.

Freilich bewegen wir uns im Zusammenhang mit den messtechnischen Arbeiten der Arbeitsgemeinschaft der Ultrastrahlenforscher vornehmlich im Gebiet der Elektrostatik. Daher drängt sich leicht die Frage auf, wie groß denn die Energie ist, die durch typisch elektrostatische Wechselwirkungen zustande kommt. Wie oben erwähnt ist E = F · d. Als Kraft kommt in der Elektrostatik die Coulombkraft in Frage. Daher gilt, wenn man obige Zusammenhänge zusammenfasst:

Damit ist der folgende Zusammenhang gewonnen:

beziehungsweise

woraus wir uns, nachdem wir die Umrechnungsgrößen für E und Q schon kennen, die Umrechnungsgröße für die Spannung errechnen können:

Der letzte wichtige Zusammenhang auf diesem Weg ist die Kondensatorgleichung, die den Zusammenhang angibt zwischen der Spannung, die an einem Kondensator liegt, und der Ladung, die dadurch am Kondensator akkumuliert wird, oder umgekehrt. Auf jeden Fall ist die entstehende Ladung umso größer, je größer die Kapazität des Kondensators ist. Wir nehmen einen Kondensator an, der eine Kapazität von einem Farad haben soll, und an dem eine Spannung von einem Volt liegen soll; dann akkumuliert sich im Kondensator eine Ladung von einem Coulomb:

Daraus lässt sich endlich der Umrechnungsfaktor von Farad in Zentimeter und umgekehrt bestimmen:

Bildet man den Kehrwert, so findet man folgenden Zusammenhang:

Wenn also Viktor Hess schreibt, dass er bei seinen Ballonflügen, vermittels derer er die Kosmische Strahlung entdeckt hatte, einen Strahlenapparat mit einer Kapazität von 1.59 cm verwendete, so ist daraus zu schließen, dass die Kapazität des Gerätes in SI - Einheiten 1.78 pF beträgt.

Für den besseren Überblick und um ein eventuelles Nachrechnen zu erleichtern sind hier noch einmal einige wichtige SI - cgs - Äquivalente in folgender Tabelle zusammengefasst:

	cgs-Einheiten	SI-Einheiten
Ladung (Q)		3.336 · 10-10 Cb
Strom (I)		3.336 · 10-10 A
Spannung (U)		2.997 · 102 V
Kapazität		1.12 pF

Abbildung 3-5 Wichtige Größen in SI und cgs Einheiten